נולד באורוגוואי ועלה לארץ עם משפחתו בגיל צעיר. התאמן במרכז הטניס בירושלים, ועד שנת 2003 ניסה את מזלו כטניסאי יחידים. תוך כדי הניסיונות להגיע לצמרת העולמית, הוא החליט בעונת 2003 להתמקד במשחקי הזוגות יחד עם יוני ארליך. עד אז השניים כבר שיתפו פעולה בטורנירים שונים, אבל את הפריצה האמיתית שלהם כזוג עשו בווימבלדון 2003, כשהגיעו עד לחצי הגמר. באותו טורניר הגיע רם גם לגמר הזוגות המעורבים.
ב-2004 רשמו רם וארליך את השתתפותם הראשונה במשחקים האולימפיים באתונה 2004, והגיעו עד לרבע הגמר. דווקא ב-2008 במשחקי בייג'ינג הם הודחו בסיבוב הראשון. אבל 2008 הייתה בכל זאת השנה הגדולה בקריירה של רם וארליך, כי בתחילתה הם זכו באליפות אוסטרליה הפתוחה, והפכו לישראלים הראשונים שזוכים בטורניר גרנד סלאם לזוגות. שנה וחצי לפני כן, רם זכה בטורניר הזוגות המעורבים בווימבלדון יחד עם ורה זבונרבה. בסוף עונת 2008 יוני ארליך נפצע, ורם העביר שתי עונות עם שותפים אחרים בסבב המקצועני. הוא הגיע להישגים יפים בעיקר עם מקס מירני הבלארוסי, ובשנת 2011 חזר לשתף פעולה עם יוני ארליך. אנדי רם זכה בסך הכל ב-19 תארי זוגות בסבב המקצועני, האחרון שבהם היה בשנת 2012 בבלגרד עם ארליך.