עמיר פרץ נולד בשם ארמנד פרץ, בבוז'ד שבמרוקו, לדוד ולרחמה. הוא עלה עם משפחתו לישראל בשנת 1956. אביו היה בעל תחנת דלק וראש קהילה. בהגיעה, שוכנה משפחתו במעברת מבשרת ציון, אך במהרה עברה למעברת דורות-רוחמה, לימים שדרות.
לפרץ שני אחים, יחיאל (יחיא) ואברהם (אלברט) המבוגרים ממנו, ושלוש אחיות, פלורה, פנינה ודליה, הצעירות ממנו. אחותו פלורה שושן היא כיום (2011) ראש מועצת מצפה רמון.
פרץ רכש השכלה בבית-חינוך שער הנגב ובתיכון שדרות. ב-22 באפריל 1974, בעת ששירת כקצין חימוש בחטיבת הצנחנים בדרגת סרן, נפצע קשה בתאונת נגמ"שים, בעת שיחידתו נערכה באזור המיתלה. הוא עבר תקופת אשפוז ושיקום שנמשכה כשנתיים, ולאחריה הקים משק במושב ניר עקיבא. במשק זה גידל פרחים ושום.
עמיר פרץ גר בשדרות והוא נשוי לאחלמה (לבית זרחיאני) ואב לארבעה.