יוסי כץ בעל תואר ראשון ושני במשפטים מהאוניברסיטה העברית, ורישיון לעריכת דין.
כץ כיהן כיועץ המשפטי של ההסתדרות במרחב חיפה וחבר הוועדה לתחיקת עבודה של ההסתדרות. כן היה היה חבר המועצה המקומית קרית טבעון.
ב-1992 נבחר לכנסת מטעם מפלגת העבודה. בשנים 1992-1996 כיהן כיו"ר ועדת העבודה והרווחה. בשנים 1996-1999 כיהן כיו"ר הועדה לעניני ביקורת המדינה.
במרץ 2001 מונה ליו"ר ועדת הכנסת. ביוני 2001 מונה לעמוד בראש הוועדה המיוחדת הדנה בהסדר דחיית השירות לבני הישיבות ("ועדת חוק טל").
בעת כהונתו כראש ממשלה יזם אהוד ברק מינוי כץ לשגריר בגרמניה, בשל רצונו לאפשר לבאים אחריו ברשימת מפלגה העבודה לכנסת להיכנס אליה. ברק התעקש על המינוי למרות שנציב שירות המדינה התנגד לו בנימוק שכץ חסר את הכישורים הנדרשים, ועתירה בנושא אף הוגשה לבג"ץ. בסופו של דבר בחר כץ לוותר על התפקיד.