יוסי קוצ'יק נולד ב-1951 בתל-אביב. ב-1975 השתחרר משירות צבאי בחיל האויר בדרגת סרן, והחל ללמוד מדעי המדינה ויחסים בינלאומיים באוניברסיטה העברית.
בעת לימודיו עבד כעוזר הפרלמנטרי של חברי הכנסת יגאל אלון ודני רוזוליו.
בשנים 1981-1984 כיהן כסמנכ"ל המחלקה לדור ההמשך בהסתדרות הציונית. בשנים 1984-1988 כיהן כיועץ לשר הקליטה יעקב צור.
ב-1988 מונה למנכ"ל משרד הקליטה, ובשנים 1989-1991 כיהן כסמנכ"ל משרד הבריאות.
בשנים 1991-1994 כיהן כשליח הסוכנות בארה"ב.
ב-1994 מונה לממונה על השכר במשרד האוצר, וניהל מאבקים רבים בחריגות השכר במגזר הציבורי.
ב-1999 עזב את תפקידו ומונה לסמנכ"ל משאבי אנוש בבנק דיסקונט, אך לאחר זמן קצר עזב את תפקידו ומונה למנכ"ל משרד ראש הממשלה, לבקשתו של ראש הממשלה אהוד ברק.
עם חילופי השלטון במרץ 2001 עזב קוצ'יק את תפקידו. ביוני 2001 מונה ליו"ר חברת מנפאואר ישראל.
קוצ'יק נשוי ואב לשלושה.