יהושע מצא נולד ב-1931 בירושלים. בצעירותו היה חבר הלח"י.
ב-1965 נבחר לכהן במועצת עירית ירושלים. בשנים 1969-1979 כיהן כממלא מקום ראש עירית ירושלים וסגן ראש העיריה.
מ-1984 מכהן מצא כחבר כנסת מטעם הליכוד.
בנישם 1996-1999 כיהן כשר הבריאות בממשלת נתניהו.
מצא נשוי ואב לארבעה.